康托爾:沒有數學家能逃離的超限樂園 (01/06)

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撰文|黎子元,01哲學主編。主編文章總編集

 

人們或會認為,從事數理科學的人,應該與世無爭,躲在自己的小樂園做著安安穩的研究,遠離一切世俗的煩擾和流言蜚語。可惜的是,幻想終敵不過事實,從事數理研究的人也不能逃開別人的攻訐,甚至抹黑和中傷。在西方數理科學史上,其中一位不幸者是德國著名的數學家康托爾(Georg Cantor)。康托爾出生在俄國的聖彼德堡,但後來舉家搬到德國,並在1867年,於柏林大學獲得博士學位。他創立了數學的集合論。不過這個理論在當時不單上得不到廣泛的認可,還遭到一大群數學家的攻擊。他為此患上了抑鬱症,由於病情不斷惡化,最後精神失常於精神病院去世。所以說,人言可畏,不能不慎。

 

數學家康托爾(Georg Cantor)

 

格奧爾格.康托爾的名字因為當代法國哲學家阿蘭.巴迪歐(Alain Badiou)的「數學本體論」而為更多哲學讀者所知悉。然而在數學領域中,康托爾早已被數學家們視為現代數學的奠基者——康托爾集合論(Cantorian set theory)的建立作為數學思想史上的重要事件,劃分出了一個「後康托爾」時代,並且規限了這個時代的數學思想發展,即集合論的「公理化」(axiomatization)。作為一種「後康托爾思想」,巴迪歐於《存在與事件(1988)》規劃的數學本體論同樣以康托爾集合論作為其「數學條件」。康托爾對現代數學的貢獻是深遠的,這裡我們僅針對當代哲學,特別是巴迪歐哲學,來談談康托爾的集合論。從康托爾的問題意識上看,藉助「集合」概念,他試圖解決數學學科一個長久得不到解決的難題:如何處理無限?

 

巴迪歐《存在與事件》(Being and Event)

 

「康托爾樂園」

德國數學家大衛.希爾伯特(David Hilbert,1862 – 1943)是康托爾的堅定擁護者。他說:「沒有人能夠把我們從康托爾創立的樂園中驅逐出去」。這座「康托爾樂園」就奠基在康托爾對於「超限數」(transfinite numbers,數學符號為「ℵ」)的發現與定義之上。通過對集合的研究(以一集合所有子集為元素的新集合,其基數比原集合大),他發現在超出「可數的無限」(the denumerable infinity or the ‘counted infinity’)之外還存在著更多的「無限秩序」(orders of infinity)。他於是將其定義為「超限」,即比一切可數無限都大卻不必作為絕對無限的數字。

 

數學家大衛.希爾伯特(David Hilbert)

 

這個偉大的思想革命被巴迪歐回溯性地描述為對於一種新形式的「多」(multiplicity)的發明。「無限秩序」概念的提出意味著通過建立起一套規範化的差異秩序,數學家如今可以從積極意義上重新看待並處理「無限」。而藉助「集合」概念建立起來的一致性則解決了關於無限的「非一致性」(inconsistencies)的傳統難題。


 
樸素集合論的「死路」

然而康托爾的集合論是一種樸素的集合論(naïve set theory)。它藉助直覺將「集合」定義為把各種不同的東西聚集在一起所形成的總體。在後期研究中,康托爾已經發現他的集合論包含了悖謬,例如會碰到「有沒有所有集合的集合」的問題(後來由著名的「羅素悖論」表達)。面對樸素集合論的「死路」(impasse),康托爾垂死掙扎。最後,為了維繫「集合」概念的一致性(這無疑是集合概念最寶貴的特性),他不得不將一切「不一致的無限」(inconsistent multiplicities)排除在無限秩序以外,並且將這些被排除掉的「絕對的無限」皆歸屬於神的領域。通過這個操作,他保住了集合概念的一致性,保住了「良序集合」(well-ordered set)。巴迪歐評論道:「康托爾毫不退縮的將絕對與不一致相關聯。在計算為一(the count-as-one)的操作失敗的地方便站立著神。」

面對樸素集合論的困境,集合論的「公理化」在20世紀(1908 – 1940)逐步開展,最終確立了成為今天數學學科基礎的公理集合論(axiomatic set theory),例如ZF系統(Zermelo–Fraenkel set theory);布爾巴基(Bourbaki)以集合論為基礎的數學統合計劃。而就在康托爾的死胡同,巴迪歐以強力貫穿出一條通路——他的數學本體論的最重要的概念以及基本邏輯模型就是對康托爾的「不可能」的逾越。正是在這個意義上,我們說康托爾的集合論是巴迪歐本體論的條件。

 

晚年的數學家

1911年,康托爾作為著名外國學者受邀參加蘇格蘭聖安德魯斯大學(University of St. Andrews)五百週年慶典。康托爾希望在慶典上見到羅素(Bertrand Russell)——羅素在新書《數學原則》(Principia Mathematica)中多處引用了康托爾的學說——然而他的希望落空了。一年後,聖安德魯斯大學授予康托爾榮譽博士的學位,可是,疾病纏身的他無法親自到場參加學位授予儀式。

羅素《數學原則》(Principia Mathematica)

 

康托爾於1913年退休,在一戰期間飽受貧困和營養不良的折磨。由於戰爭,公眾為他慶祝70歲生日的活動也不得不取消。他人生的最後日子是在療養院度過的。在這裡,於1918年1月6日,他選擇以自殺的方式於精神病院告別世界。

 

 

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