數學之美:曾鈺成九頭鳥之謎 教你小學生都明嘅解答方法

撰文:李聲揚
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見到好多人,只係想知個答案,唔想理點嚟。絕對係數學教育及我等老師嘅失敗。得罪講句,知咗個答案,你會變得聰明咗?完全唔會。但知道個過程,就可能會……我寫呢篇文,係為燃亮別人。如果你屋企有個小朋友鍾意數學嘅,唔好再問佢讀數學有乜用。你太膚淺了。
李聲揚
數學之美,不在答案,而在尋找答案的過程。

兩件好似冇關嘅事,令到呢篇文誕生。

第一件,早排睇咗西片《數造傳奇》(The Man Who Knew Infinity),一套唔太好睇嘅戲。第二件事,星期一(7 月 4 日)曾鈺成玩夠英文,轉玩數學,出咗一條「九頭鳥問題」,可以估到下任特首乜水云云。

估特首我冇興趣,呢篇文真係講數學,朋友都話怕趕客。但呢篇,係我少有地懷住「使命感」寫嘅文章(我之前寫嘅文好少出呢句)。唔睇,必定係你損失。

先講「九頭鳥問題」,我將最關鍵嘅部分,重寫一次:

森林入面,有 3 種動物,有雞,有狼,有九頭鳥。加埋 100 個頭,又 100 隻腳。咁,到底每樣有幾多隻?曾鈺成當咗大家知道,雞就 1 頭 2 腳,狼就 1 頭 4 腳,九頭鳥就 9 頭 2 腳啦下。

多得曾生,早上我電話俾人炸過不停。無他嘅,以前數學老師,兼數學高材生嘛。

中譯《數字愛人》,筆者強烈推薦。(Amazon)

只求答案的不是數學 是強姦

同不少網友交流過,相信呢刻你都知道答案。但討論過程就真係激起我把火。除咗係怒火,亦有係心中對數學嘅嗰把火。曾生迷戀數學,我又何嘗唔係一個「數字愛人」呢?(書嚟的,好睇)

火乜?第一,見到好多人,只係想知個答案,唔想理點嚟。絕對係數學教育及我等老師嘅失敗。得罪講句,知咗個答案,你會變得聰明咗?完全唔會。但知道個過程,就可能會。

第二,更不堪地,見到好多網友去解。不幸地,好多都係電腦男或工程男。你懂的,自己畀個名呢啲人。甚至有自稱名師嘅人。做乜咁火?因為見到佢哋咁搵個答案出嚟:寫程式啦、用 MATLAB 軟件啦、用 Wolfram Alpha 啦。

對,睇見呢啲嘢,我完全唔開胃。有「資深數學導師」講足十幾分鐘,小數都出埋,令人作嘔。呢啲根本唔係數學,係強姦(I mean it)。我亦奉勸女讀者(如有)疏遠呢啲毒男。呢啲不知 elegance 為何物嘅男人,絕對不可交往。

有乜問題?「搵到答案咪得。」呢個就係問題。你會唔會同條女講:「食米芝蓮法國餐做乜?食麥當勞飽肚咪得。」你會唔會同條女講:「都唔知套西片講乜,睇王晶笑餐飽咪得。」如果係咁,唔好拍拖啦,直接洞房咪得。

有咩問題呀?數學,藝術嚟㗎大佬。數學係追求美。有部分大學,數學科唔係 BSc 理學士,而係 BA 文學士。數學,唔係會計佬數豆,亦唔係速算神童,更加唔係塞堆垃圾畀個程式叫佢嘔答案畀你。

解九頭鳥問題 計數機都唔使

你李聲揚咁巴閉,你又有乜咁靚嘅解法?就係有。唔敢話最靚,但都 OK 靚。小學生識睇。OK,頂多初中學生,一定識睇。最重要係,我唔會吝嗇去讚美一個比我更靚嘅解法。唔會話「我一樣搵到答案」。行家一出手就知,美才是好。

簡單,x 隻雞,y 隻狼,z 隻九頭鳥
計頭,x + y + 9z = 100。是為第 1 式
計腳,2x + 4y + 2z = 100
簡單地變做 x + 2y + z = 50,是為第2式
1 式減 2 式,執少少位,變成 8z = 50 + y,是為第 3 式。

基本上就搞掂了。最重要係,呢度唔係燒臘舖,唔會有半隻雞或者例牌。呢啲 x y z,只能係正整數,或者零。

睇第 3 式見到乜?兩邊都係 8 嘅倍數,而要大過 50
咁一係,就八七五十六,y = 6,z = 7,執埋手尾,x = 31
或者一係,就八八六十四,y = 14,z = 8。執埋手尾,x = 14
咁八九七十二呢?唔使啦,計到出嚟,x 會係負數,唔work。再玩上去都係一樣。搞掂。

成個過程,小學,頂多初中程度。唔好話電腦,我連計數機都唔使用。唔使慢慢試,唔使估,唔使運氣。服未?

咁,又如何?點解數學家咁討厭電腦解法?因為,再講一次,數學係追求美。呢一點,在《數造傳奇》套戲入面就有講到。

《數造傳奇》劇照。(電影官方facebook圖片)

數學之美 不在答案 而在過程

套戲講英國數學家哈代(G.H. Hardy),同印度人拉馬努金(Ramanujan)。哈代早就神級,拉氏冇受過正式教育,在印度無啦啦寫信畀哈代,話有驚人發現。哈代一睇,不得了,此人係天才,即時接佢過劍橋。

戲入面,你見佢哋成日拗。拉氏堅持「我已經有答案」,但哈代係咁捽佢,我要證明,我要證明,冇圖冇真相。拉氏話神話佢知,哈代睬佢都有味,唔整個證明出嚟我唔理你。

呢,只係想知答案嘅人,就無法明白。在純數學入面,最重要嘅,係個「過程」,唔係「答案」。

好玄?問下讀附加數或純數的朋友,考試卷,十題有九題半,都係叫你「證明」。即係,答案印埋畀你。所以考純數卷,根本冇得「錯」。你只會有識做,同埋唔識做。唔係廢話。正如當年我考完,就知份卷應該滿分(大把人係)。做到就做到,唔得就唔得,唔會有「做錯」。

戲入面都有提到,哈代同拉氏,其中一瓣,就係研究整數。曾鈺成的題目,亦係研究整數。曾鈺成嘅問題,係經典「雞兔同籠」問題變奏。在我中國《張邱建算經》已有講。咩年代?公元 500 年左右。唔好話未有哈代未有 MATLAB,啲鬼佬甚至都未開化呀。而家啲人嘅智慧,不如 1500 年前嘅古人。

哈代固然係神枱級數學家,但佢最出名,未必係自己的研究。佢最出名,除咗係同拉氏嘅故仔外,仲有就係佢對「美」嘅執着。佢本名著叫做《一個數學家的辯白》(A Mathematician's Apology),網上有得搵嚟睇。係半自傳,唔係數學書。入面佢就有講(我幫你譯):

數學家嘅思維方式,好似畫家同詩人咁,必須係美。美係首要標準,醜陋嘅數學冇可能與世長存。

即係,我之前提到嗰啲用程式呀之類嘅解法,必定落地獄。唔好忘記,喂,公元 500 年何來有電腦你用呀老細?

點解哈代咁講?呢度亦要講,《數造傳奇》香港版字幕,將「proof」譯為「驗證」。作為一套講數學嘅戲,不能接受。Proof,係「證明」。

《數造傳奇》宣傳海報。

語言文字都會消亡 唯有數學不滅

證明同驗證有乜分別?好簡單。讀過初中科學都知咩係科學方法:觀察,猜想,然後做實驗。舊理論會畀新嘅推翻。而家你相信日蝕唔係因為天狗食日,你亦相信地球係圓嘅,之類。

但,數學唔同。數學唔使「做實驗」。你數學書入面嘅定理,唔少係千幾或幾千年前嘅人做。佢哋死咗後,榮譽永歸於佢哋。因為,數學唔係實驗科學,數學嘅證明,某程度上係「完美」嘅。

我證明咗曾鈺成嘅問題係得嗰兩款解法,就只會係得嗰兩款。我完全唔使試晒所有組合(即係,唔使開部電腦咁醜惡)。我完全不擔心會有隻黑天鵝出嚟破壞。凱撒大帝話「I came,I saw,I conquered」,數學家就話「我做,我答,我瞓覺」。證完,就係永恒。

語言,文字,都會消亡。但數學唔會。即使人類文明冇晒,我哋闔球鏟都好,數學定理依然長存。點解?因為定理本身就存在於宇宙中,我哋只係發現佢哋。

我寫呢篇文,係為燃亮別人。如果你屋企有個小朋友鍾意數學嘅,唔好再問佢讀數學有乜用。你太膚淺了。哈代講過,佢研究嘅東西,只係「對美嘅追求」,問佢有乜用,係侮辱佢。放心,拉馬努金早死,但哈代 70 歲先死,仲幾富貴。讀數學未必會發大達,但,都真係唔會餓得死嘅。

(本文純屬作者意見,不代表香港01立場。)