【林鄭當選.博評】阿羅悖論:有三個候選人,選舉就不可能公平

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特首選舉剛結束,為什麼這不是一場公平的選舉?

假設在森林裡,所有動物一起投票,以決定獅子或老虎之中的一名將會成為森林之皇。因為只有兩名候選動物,總有一隻能夠取最少一半(majority)的票數,那動物就會為皇。

後來,猩猩覺得好玩,加入了森林之皇競選遊戲……

猩猩的加入,令選舉難以達致公平。(視覺中國)

假設猩猩參選後,所有動物的投票結果如下:

猩猩:35%

獅子:33%

老虎:32%

領先者當選模式

到底誰會成為森林之皇呢?猩猩取得最多票數,如果採用First past the post (筆者譯:領先者當選)模式,那麼猩猩就是勝出,成為森林之皇。可是,三名候選動物的競選與兩名候選動物的競選有一個最大的分別,就是猩猩沒有取得最少一半(majority)的票數。這正好反映First past the post 投票的壞處,如果候選人數目一多,例如有十名,假設每名候選人的得票率為約10%左右,那麼很可能當選者得票不過半數,即不支持他的才是大多數。

這個時候,貓頭鷹建議以投票時,大家寫下心目中候選動物的次序,重新投票後,結果如下:

有19人選:猩猩>老虎>獅子

有16人選:猩猩>獅子>老虎

有32人選:老虎>獅子>猩猩

有33人選:獅子>老虎>猩猩

香港特首的競選模式

如果森林動物參考香港特首的競選模式,牠們會先消去最低得票者老虎,然後把三隻候選動物變成兩隻,務求讓其中一隻取得超過一半的票數。那麼,支持猩猩的,有35隻;支持獅子的,有65隻,故獅子得勝。

兩個兩個互相較量

如果把三隻動物分組,兩個兩個互相較量,那結果結下:

猩猩:獅子 = (19+16):(32+33) = 35: 65

老虎:獅子 = (19+32):(16+33) = 51: 49

猩猩:老虎 = (19+16):(32+33) = 35: 65

明顯地,大家喜歡獅子或老虎比猩猩多,如果比較獅子和老虎,老虎更優勝,這個模式下,老虎勝出。

暫時總結一下,三種選舉模式下的賽果:

  領先者當選模式:猩猩

  香港特首的競選模式:獅子

  兩個兩個互相較量:老虎

媽呀,我好亂呀,到底邊個贏呀?這個例子想帶出的是,根據1972年諾貝爾經濟學獎得主Kenneth Arrow的Arrow's impossibility theorem(不可能定理)或Arrow's Paradox(阿羅悖論),以及他所提出的公平條件,當候選人最少為三時,世上是沒有一個選舉,可以根據每一個個體所選擇的排序,而投票成一個集體決定。他所提出的公平條件包括:

一,如果森林內每隻動物都喜歡猩猩多過獅子,那麼選舉結果也會是猩猩勝過獅子。

二,就算有動物改變了選擇,但只要所有動物仍然喜歡猩猩多過獅子,那麼選舉結果也會是猩猩勝過獅子。

三,不存在可主宰選舉結果的獨裁者。

不可能定理最殘忍的推論,是如果想有個「公平」選舉可以滿足條件一與二,那就一定有獨裁者。所以特首選舉不公平,是一件必然會發生的事。

(文章純屬作者意見,不代表香港01立場。)


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