【數學解謎】清晰圖表拆解 曾鈺成「欽點特首」數學難題

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曾鈺成都夠哂多才多藝。早排就玩英文字母重組,又玩中文字謎。之後就返去佢本行嘅數學,講九頭鳥,本人之前都寫過博評,順便解過乜嘢係「數學之美」。

今次曾鈺成繼續玩數學,講「欽點特首」,其實都係數學問題。但今次更加有意思。上次九頭鳥問題,好多人唔識答,自然冇興趣。 但今次唔同,佢直頭比埋答案你,二選一。唔少人都以為自己知道答案,但兩邊都有人支持。好似舊年網上熱話條裙咁,到底係藍黑相間,定金白相間?

咁到底兩個答案入面,邊個先啱?定兩個都啱?定兩個都錯? 睇完篇文就會知。

立法會主席早前在報章專欄,借數學難題講特首選舉。(資料圖片)

問題係咁嘅(經我小量修改):

特首選舉,ABC三人爭。中央「欽點」咗其中一個,但冇人知係邊個,就當住三人獲欽點嘅機會一樣,即係都係三份一。

有位D君,係消息人士,可以直通天庭,根本知道結果。A同佢好朋友,就問佢。但D話,一早答應咗中央,唔講得欽點邊個。洩露國家機密,死罪喎,唔講得。

A話:「咁你唔使話我知欽點咗邊個,你講一個陪跑嘅就得。如果B獲欽點,話我知C陪跑。如果C獲欽點,話我知B陪跑。如果係我(A)獲欽點,咁你擲銀仔,是但話我知B或C陪跑。咁得啦啩?」

D諗咗陣,講一個陪跑嘅名,又唔會令A知道邊個獲欽點,都唔算洩露機密丫。好啦,咁話你知,C係陪跑嘅。

A就開心啦,心諗:「C陪跑,咁即係獲欽點嘅,一係我(A),一係B。我(A)由三份一機會,變到有二份一機會! 」

天真嘅A,將呢個想法同咗B講,B就有另一個想法:

「由頭到尾A嘅機會都係三份一。D嘅訊息完全唔會改變A嘅機會。我(B)同C是但一個陪跑,一早都知。陪跑係我(B)定C,唔會影響A嘅機會。所以A諗多咗,佢嘅機會唔會變成二份一,由頭到尾都係三份一。

相反,D嘅訊息對我(B)就重要啦:A陪跑嘅機會,亦即係我(B)同C是但一個獲欽點嘅機會,原本係三份二。而家知道C冇份,咁C嘅機會都去埋我度。即係我而家係三份二,A只得三份一,我係熱門。」

到底A啱定B啱?定兩個都啱?定兩個都錯?

開估之前,鼓勵下你,呢條問題睇落簡單,其實幾困難,係數學史上面極有名嘅問題。好多人都答錯,包括廿年前讀緊中學嘅我。

正如我寫九頭鳥篇文提到,話你知個答案容乜易,但,要你學到嘢先係我使命嘛。以下就教下你自己搵答案:

最簡單嘅方法,避免講咩probability,又難串,又難讀。

我哋做個假想實驗。假設香港特區有咁長命中央又同一個方法玩足咁多屆,咁我玩足120鋪咁嘅選舉(揀120因為個數靚,易計,你想玩謝自己就試下用100)

大約會40鋪欽點A,40鋪B,40鋪C,對不?

再分落去,40鋪欽點A之中,有20鋪D答「B陪跑」,有20鋪D答「C陪跑」(擲銀仔嘛);

40鋪欽點B之中,就40鋪都會答「C陪跑」;40鋪欽點C之中,冇一鋪會答「C陪跑」。

亦即係話,答「C陪跑」,應該係有20+40= 60鋪,當中,有20鋪係欽點A,40鋪係欽點B。

咁,應該明啦?即係,A機會係三份一,B係三份二。

所以,A理解錯,而B講得啱。D講完嘢後,A獲欽點嘅機會冇變到,依然係三份一。B獲欽點嘅機會,就由三份一升到三份二。

答案解咗,但,應該唔少人仲係唔多信,或者接受咗我嘅答案但仲係心中唔多明白。試下話你知幾個關鍵位。

首先,要明白如果由頭到尾冇D呢位「消息人士」,咁大家只係靠估,就真係三個均等,全部係三份一。

同意A諗法嘅,就係覺得,中央一早欽點咗心水人選。D講嘅嘢,唔會影響呢個黑箱入面有乜嘛。又唔係D欽點,又唔係中央再揀過。點可能因為佢講句嘢就變咗B有上風?所以依然係AB兩人一半一半。

關鍵係,D知道真命天子係邊個,又唔會講大話,而最最最重要係,佢只能爆一個陪跑者嘅名字出嚟,唔可以講獲欽點者嘅名出嚟。呢個就係解題關鍵。

D排除咗C獲欽點嘅可能性。成個「世界」,就唔同咗。

呢個表(頭先出現過),在D答咗C陪跑後,就「消滅」咗紅色嗰一欄,只會剩低黃色嗰一欄。等於你玩啤牌揭咗底牌,或打麻雀九章落地咁上下原理。

A以為仲係兩個人(A同B),機會相等,就諗錯咗。冇錯,係兩個人,但機會唔相等。由結果搵番源頭的話,60次「C陪跑」入面,只有20次嚟自A獲欽點,有40次係嚟自B獲欽點。絶對唔係一半一半。

仲係唔信?唔緊要。呢類問題可以做實驗。

點做?搵個朋友,搵三張卡寫ABC,隨機收起一張卡,自己唔睇但比你朋友睇。然後叫佢答你「唔係B」定「唔係C」。你可以發現,佢答「唔係C」嘅情況下,張卡係B嘅機會,遠高過係A。應該剛好一個double。你玩番一千幾百鋪就會知。信我,我廿幾年前已經玩過。

最後補充,其實曾鈺成在篇文都畀咗提示。佢講到「蒙提霍爾問題」。對,呢個其實係「蒙提霍爾問題」 (Monty Hall Problem)嘅變種。個名好似好深,但可能有讀者玩過,三個火柴盒、三個筆袋,或者三道門嘅問題。

網上圖片

當係一個有獎遊戲。三道門,其中一道後面有靚車(或靚仔)做獎品。你揀一道門,然後主持人會再在另外兩道門中,開一道冇靚車(或靚仔)嘅門比你睇。再比你決定,轉唔轉揀第二道門。

問題就係,應唔應該轉?定根本冇分別?

答案:應該轉。原因?同頭先講嘅一樣。唔信?你又玩一次就知

冇錯,數學最有趣嘅地方係,同一個問題,往往披住唔同嘅外衣出現。

三道門問題,之後演化成為三個死囚問題:三個死囚有一個得到特赦,有一個去問獄卒,希望獄卒講個冇特赦嘅名字。曾鈺成嘅問題,就係改自三個死囚問題。

唔止,仲有一個變種:

三張卡。第一張兩面都紅色,第二張兩面都綠色,第三張一面紅色一面綠色。求其抽一張卡出嚟,只望一面,見到係紅色。

問題:另一面都係紅色嘅機會,係幾多?

答案,係三份二,唔係二份一。

承繼數學教科書傳統,呢個問題點解同三度門/三個死囚/三人選特首一樣,就等你自己去諗了。

早幾日,曾鈺成出咗條數學題考讀者,話大家計完就知道下任特首係邊個。做過數學老師嘅李聲揚,同大家解答案之餘,更同大家講「數學之美」… 全文:http://bit.ly/29hqshs #數學之美 #不在答案 #數造傳奇 #01博評

Posted by 01博評 on Thursday, 7 July 2016
(本文純屬作者意見,不代表香港01立場。)


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