數學哲學簡介（上）

再沒有什麼學科比起數學更加吸引哲學家的了，哲學和數學是人類歷史上最早出現的兩門系統學科，幾乎可以說其他學科都從其中分化出來。從古希臘時期的畢達哥拉斯、柏拉圖等人開始，哲學和數學就一直糾纏在一起，直到二十世紀下半頁才出現比較系統化的分離。

這兩篇只是一個簡單的介紹，是關於數學哲學（philosophy of mathematics）的簡介，內容並不難（我覺得）。於我個人而言，人類的心靈和意識是哲學中最迷人的問題，而數學哲學的諸問題則是最令我感到困惑的，大概沒有之一。

本文主要參考了Stewart Shapiro的'Philosophy of Mathematics and Its Logic: Introduction' in <The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic>  以及他的<Thinking about Mathematics—The Philosophy of Mathematics> 。當然，與其說是參考不如說是翻譯和語言組織，並沒有多少原創的東西。後一本書是入門當代數學哲學的極佳教材。

1.數學與哲學

再沒有什麼學科比起數學更加吸引哲學家的了，哲學和數學是人類歷史上最早出現的兩門系統學科，幾乎可以說其他學科都從其中分化出來。從古希臘時期的畢達哥拉斯、柏拉圖等人開始，哲學和數學就一直糾纏在一起，直到二十世紀下半頁才出現比較系統化的分離。笛卡爾、萊布尼茲、帕斯卡等人既是數學家又是哲學家，即便到了二十世紀，龐加萊、羅素、丘奇（Alonzo Church）、哥德爾、希爾伯特、塔斯基、布勞威爾等等也都在數學和哲學上同時佔有一席之地（而他們在數學上的貢獻很多集中在數理邏輯之上）。哲學家康德在其著作《純粹理性批判》中的中心議題之一就是討論數學知識是如何可能的；同時幾乎可以說，現代哲學的開端很大程度上源於數學或對數學的關注和思考，英美的分析哲學最早來自於一群邏輯學者：波爾查諾、弗雷格、羅素等，而歐陸的現象學創始人胡塞爾最開始也是學數學的。

諸如此類的糾纏是十分自然的，因為數學的種種特性深深吸引著哲學家的目光並困惑著他們。例如，數學知識是如何可能的，我們似乎不能通過經驗觀察得到數學命題，我們相信自己既看不到一個數也看不到一條直線，那麼我們從何得知數學；數學知識例如5+7=12似乎是必然的，以至於不可能是假的，與之相對我們會認為例如萬有引力和距離成反平方比就是一個偶然的經驗事實，它看上去也可以是例如反比關係，儘管如此我們的宇宙就不會是現在這個樣子。當然在廣義相對論那裡情況些許不同，它和數學命題之間似乎存在一種本質上的區別，這種區別真的存在嗎，如果存在那麼它從何而來；數學為什麼可以應用於物理等學科之中，如果數學僅僅是一些形式符號，或僅僅是一種特殊的遊戲，那麼為什麼依賴它的現代物理等學科能取得如此輝煌的成功呢？

哲學史上最有名的大概就是實在論和唯名論/反實在論之爭了，這場爭論從柏拉圖和亞里士多德開始，一直貫穿於哲學學科各個問題的討論和分歧中，而數學物件無疑是其中最多爭辯的。如果數學物件存在於理念世界中，對它的認識是如何可能的，如果它不存在，那麼它又是如何應用於現實世界的，這個矛盾是數學哲學中最核心的議題，甚至於可以說在整個哲學中都佔據重要地位。同時，哲學史上另一個重要的爭論即理性主義和經驗主義之爭，二者的分歧很大集中在數學（以及邏輯等）知識的獲得上。除了本體論和認識論，數學還為哲學提出了邏輯學和語義學等方面的問題。

2.數學哲學的問題

2.1 數學物件與數學命題

數學哲學中最經典的問題莫過於數學物件—例如數、直線、集合、函數是否存在。如果存在它是否可以獨立於數學家的心靈語言等等。柏拉圖主義（Platonism），或稱作本體論實在論（ontological realism）認為數學物件，至少一部分數學物件存在，它們就其顯現是抽象的，永恆不可破壞的，非因果的，而且不屬於時空之中。對於柏拉圖主義，哪些數學物件是存在的仍然是一個問題，例如直覺主義先驅克羅內克（Kronecker）的名言「上帝創造了整數，其他都是人的創造」，如果整數存在，無理數呢，虛數以及四元數呢？

除了柏拉圖主義者，還有兩類關於數學物件的觀點，觀念論（idealism）和唯名論（nominalism）。觀念論者同意數學物件（在某種意義上）存在，但他們同時認為，數學物件是人（或者哲學一點，先驗主體）的心靈構造，或者說數學物件依賴於人的心靈，又或者說，如果沒有心靈，就沒有數學物件。而唯名論則更進一步，否認數學物件存在，認為數學物件不過是數學語言中的詞項，或者說沒有語言就沒有數學物件。

另外有一些哲學家認為例如函數或集合並非是物件（object），而是性質（property）或者概念（concept），那麼區分仍然是存在的，取決於他對於性質或概念持有哪一種立場：如果她相信性質獨立於人類的心靈和語言，那麼她仍然是一個關於數學的柏拉圖主義者。如果他認為概念依賴人的心靈，那麼他就是一個關於數學的觀念論者。

這三種理論各有明顯的優缺點。對於柏拉圖主義，數學真理是形而上學必然的，因為它獨立於我們的物理世界或心靈中任何的偶然事件，同時它也在某種意義上回應了數學的可用性問題，恰恰因為數學是獨立於我們的。但一個重要的問題是，作為現實世界中的人，我們怎麼可能去認識這種超自然的存在，我們對某個物件的認識似乎必須依賴於物件對我們有因果作用（必要未必充分），但柏拉圖主義假定數學物件存在的理論王國是獨立於我們的心靈而同時沒有因果作用的。觀念論回答了數學的認識論問題，既然數學物件是我們心靈的構造，我們的心靈自然也就可能可以認識它。數學知識之所以是必然的且獨立於我們的經驗知識，是因為人類心靈的結構是必然的。但它的難題在於解釋數學的可用性問題，以及我們可以擁有關於無窮的知識而人類的心靈就其表現上是有窮的矛盾。對於唯名論者，它們可以在某種程度上回應數學的認識可能性問題和可用性問題，但難以回答為什麼數學，在認識論的維度上至少就看上去是必然而先天的，以及解釋一個有意義的數學命題中的數學詞項是如何可以沒有指稱物件的。

要強調的是，儘管在其他哲學問題上，例如共相，也有柏拉圖主義，觀念論和唯名論的分歧，而且和數學物件的分歧是相關的，但二者互不構成充要關係。一個支持「紅色」的唯名論的哲學家完全可以支援數學物件的柏拉圖主義。除此之外，這三種理論還有進一步的內部分歧，如觀念論中就有主體（subjective）型和主體間（inter-subjective）型的區分等等。

除了認為數學物件實在的哲學家，還有一些哲學家支持一種關於數學的真值實在論（realism in truth-value）：一個數學命題具有客觀的真值，這個真值獨立於數學家的心靈、語言、社會約定等等。與之相對的就是真值反實在論，認為數學命題不具有真值或其真值依賴於數學家（或他們的心靈，或我們的語言，我們社會共同體的約定）。當然說其真值依賴於數學家不是說數學家可以主觀隨意地決定一個數學命題是否為真，而是說如果沒有心靈數學陳述就沒有真值。

對於一個真值實在論者，他們相信一個數學陳述（當然是指足夠清晰沒有歧義的那種，以下不再作此說明）是否為真與人無關，故而可能存在一些數學命題是真的，然而卻是無法被人認識的，又或者是不可證明的。例如一個哥德爾句，對於一個真值實在論者而言它可能有著確定的真值，儘管在給定的公理系統中是不可證的，而一個真值反實在論者則可以認為這個句子至少在這個公理系統中是無真值的。

一個再典型不過的例子是：在π的十進位展開中，是否有連續的10個7出現（就我所知目前沒有找到，如果有找到，就換做11個這樣的……）？真值實在論者相信這個問題的回答是確定的，或者有或者沒有，而且這是確定的，正如我們說在「其中有1415連續出現」是真的一樣。另一方面，真值反實在論者可以（並不必須）認為這個命題沒有確定的真值，也即是說未必一定是真的或假的。

在這裡我們始終要注意區分數學上的真和可證，它們未必是相同的。

有一派激進的真值反實在論認為所有的數學命題都完全沒有非平凡的真值，從而根本沒有數學知識。代表就是菲爾茲（John Charles Fields）的數學虛構主義（fictionalism），它和我們的常識以及直觀格格不入，故而需要更多的說明來將其嵌入到現實的數學中來。

儘管看上去關係很大，但這兩種實在論確實並不相同，但當然是相關的，對這兩種實在論的不同態度劃分了四個立場，在今天，這四個立場都有支持者。

2.2 數學與物理

數學最神奇的地方莫過於它能夠被應用於物理等學科之中，儘管我們常常想說數學和現實世界無關。為什麼經由解一個微分方程可以解釋或預測一個現實中的物理現象。在某些時候這似乎是無比自然的，把一個蘋果和另一個蘋果放在一起我們得到兩顆蘋果，但在某些時候這又是神奇的，可以說人們借助牛頓力學和數學算出了海王星和冥王星的存在及其軌道，並確實在那裡觀察到，而二十世紀物理學的非凡成功更是令人印象深刻的。

馬克·史坦納（Mark Steiner）曾經區分了這裡的幾個問題。第一個是，在物理學或者在生活中，我們常常使用數學概念，例如「太陽系有8顆行星」。一個數學概念8以一種極其自然的方式被嵌入到我們的陳述中，在此我們說的8和皮亞諾公理中的8是一回事嗎（而當我們想到勒文海姆–斯科倫（Löwenheim–Skolem）定理，這種困難還會更加凸顯出來。諸如此類的情況被稱作關於數學的語義連續性（semantic continuity on Mathematics），這是如何可能的，尤其是考慮到如今數學語言已經高度形式化，而我們居然可以如此隨意地使用著數學概念，如果它們不是一回事，我甚至不知道要怎麼解釋我們之前關於把蘋果放在一起的例子和數學等式1+1=2之間的聯繫。第二個問題是我們的核心問題，數學究竟是如何和實際世界相聯繫的，為什麼經由計算人們可以預測在一個特定位置觀察可以看到一顆行星，而這樣的事還真實發生了。為什麼一個（組）微分方程可以以極高的精度預測一個粒子的狀態，而且它總是能夠成功。第三個問題是，為什麼數學和形式化可以被應用在對我們的經驗或者物理世界的描述中，非歐幾何在剛出現的時候被視作怪物，即便是在數學界。然而愛因斯坦卻表明它是廣相中對空間的描述工具。（補一句，亥姆霍茲（Helmholz）等人的一些實驗也許表明了非歐幾何也是對我們知覺空間的描述，而非像康德所設想的那樣是歐式幾何），當物理學家們試圖探究基本粒子的性質時，他們發現數學家早已發明了李群這樣的工具等等。

2.3 局部問題

大家都知道哥德爾定理：在一個有足夠強表達力（包含皮亞諾公理）的公理系統中存在不可證明也不可證否的命題。應該如何理解這個定理，對於哥德爾本人這樣的本體和真值實在論者而言，這個定理向我們表明在這樣的公理系統中存在真而不可證的命題，如果我們假定我們能夠知道一個數學命題的真值的唯一方法是在一個給定的足夠強且有限的公理系統證明它，那麼哥德爾定理就向我們表明存在一些儘管確實為真然而我們不能知道的數學命題，換句話說，在數學中真不能等同於可證。然而對於一個真值反實在論者而言，他恰恰可以認為這樣的哥德爾句沒有真值。另一方面，考慮圖靈和邱奇的停機問題，它表明不存在一個有限的演算法可以一致的判定任何演算法在給定輸入時會否停機，也就是說我們沒有統一的方法判斷一個命題在給定公理集上是否是可證的。一些哲學家，比如羅傑·潘洛斯（Roger Penrose）認為這個結果表明人類的心靈不是一台通用圖靈機，從而不是電腦，因為一台圖靈機不能判斷所有的數學命題而人類似乎可以通過某些數學直觀判斷。但很多哲學家反對這一點，例如已經被證明與ZFC獨立的連續統假設，我們的直觀似乎並不能在這個問題上告訴我們更多。與之相反，一些哲學家，例如維伯（Judson Webb）認為哥德爾定理和停機定理恰恰說明人類的心靈是一台圖靈機。

另一些值得爭論的問題是選擇公理（Axiom of Choice），它已被證明和ZF是獨立的。如果我們接受選擇公理，就會導致巴拿赫-塔斯基悖論（Banach-Tarski paradox）：可以把一個有限大的實心球分成有限的若干份，然後重新拼成兩個和原來的球一樣大的實心球，這般異常違背我們直覺的結果。然而如果我們拒絕選擇公理，又會導致數學中的大半已被證明的定理無法證明。我們究竟應該如何看待選擇公理，是否可能存在一種在其中選擇公理不成立的數學等等都是數學哲學的問題。儘管它應該影響到實際的數學實踐，大多數數學家並不會在使用選擇公理時感到糾結，雖然他們確實認為這個公理並不像ZF中的公理那樣地位穩固。（我記得在哪裡看到過，如今仍有一批俄國數學家盡可能不使用選擇公理）。與選擇公理地位類似的是無窮集上的排中律，關於此下一篇中的直覺主義部分會介紹。

除此之外，我們應該如何理解非直謂定義（impredicative definition），比如「最小上確界」。我們怎麼能夠通過首先指向一個包含某個物件的集合來定義該物件，它不是關於一個物件的構造（我們從一個包含了該物件的集合中將其挑選出來），而僅僅是對物件的描述。對於一個本體論實在論者而言，這自然是容易理解的，就像說某個班級中身高最高的人一樣，但對於一個反實在論（唯名論或觀念論）者而言，非直謂定義就是一個迴圈定義，至於迴圈定義是否是合法的則是另一個獨立的問題。

在某種意義上，數學哲學中的諸多問題和實際的數學實踐是息息相關的，如果選擇公理被哲學家表明是不合法的，也許整個數學的地貌（landscape）都需要進行巨大的改變；又或者數學家應該聽從物理學家等應用數學的科學家，如果是這樣我們似乎又會覺得數學的公理化和證明在某些時候是無關緊要的，物理學家，以及實際上很多數學家從來沒有等微積分嚴格化就隨意使用相應的數學工具；也許數學家只應該關心他們自己的看法，正如他們自己現在做的那樣。在理想的情況下，數學哲學同時應該回答它自己是如何與具體的數學實踐以及科學實踐相聯繫的。在今天由於方法論自然主義（methodology naturalism）的興起，這樣的問題重新進入了哲學家的視野，數學哲學就是它的一個具體戰場，這裡不再展開。

下一篇裡簡單介紹當代數學哲學的一些主流派別。我們會看到，所謂的三大主義（邏輯/直覺/形式）之爭既有著各自的繼承者，又已經是過去時了。

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